ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ, თუ რა არის გაუსის მეთოდი, რატომ არის საჭირო და რა არის მისი პრინციპი. ჩვენ ასევე პრაქტიკული მაგალითის გამოყენებით ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება ამ მეთოდის გამოყენება წრფივი განტოლებათა სისტემის ამოსახსნელად.
გაუსის მეთოდის აღწერა
გაუსის მეთოდი არის ცვლადების თანმიმდევრული აღმოფხვრის კლასიკური მეთოდი, რომელიც გამოიყენება ამოსახსნელად. მას ეწოდა გერმანელი მათემატიკოსის კარლ ფრიდრიხ გაუსის (1777-1885 წწ.) სახელი.
მაგრამ ჯერ გავიხსენოთ, რომ SLAU-ს შეუძლია:
- აქვს ერთი გამოსავალი;
- აქვს ამონახსნების უსასრულო რაოდენობა;
- იყოს შეუთავსებელი, ანუ არ ჰქონდეს გადაწყვეტილებები.
პრაქტიკული სარგებელი
გაუსის მეთოდი შესანიშნავი გზაა SLAE-ის ამოსახსნელად, რომელიც მოიცავს სამზე მეტ წრფივ განტოლებას, ისევე როგორც სისტემებს, რომლებიც არ არის კვადრატული.
გაუსის მეთოდის პრინციპი
მეთოდი მოიცავს შემდეგ ნაბიჯებს:
- სწორი – განტოლებათა სისტემის შესაბამისი გაფართოებული მატრიცა მწკრივების ზემოთ მცირდება ზედა სამკუთხა (საფეხურიანი) ფორმამდე, ანუ მთავარი დიაგონალის ქვეშ უნდა იყოს მხოლოდ ნულის ტოლი ელემენტები.
- უკან – მიღებულ მატრიცაში, მთავარი დიაგონალის ზემოთ ელემენტები ასევე დაყენებულია ნულზე (ქვედა სამკუთხა ხედი).
SLAE გადაწყვეტის მაგალითი
მოდით ამოხსნათ ქვემოთ მოცემული წრფივი განტოლებათა სისტემა გაუსის მეთოდით.
Solution
1. დასაწყისისთვის წარმოგიდგენთ SLAE-ს გაფართოებული მატრიცის სახით.
2. ახლა ჩვენი ამოცანაა გადატვირთოთ ყველა ელემენტი მთავარი დიაგონალის ქვეშ. შემდგომი მოქმედებები დამოკიდებულია კონკრეტულ მატრიცაზე, ქვემოთ აღვწერთ მათ, რაც ეხება ჩვენს საქმეს. პირველ რიგში, ჩვენ ვცვლით რიგებს, რითაც ვათავსებთ მათ პირველ ელემენტებს აღმავალი თანმიმდევრობით.
3. მეორე მწკრივს გამოვაკლოთ ორჯერ პირველს, ხოლო მესამეს – სამჯერ პირველს.
4. დაამატეთ მეორე ხაზი მესამე სტრიქონს.
5. გამოვაკლოთ მეორე სტრიქონი პირველ სტრიქონს და ამავდროულად გავყოთ მესამე სტრიქონი -10-ზე.
6. პირველი ეტაპი დასრულებულია. ახლა ჩვენ უნდა მივიღოთ ნულოვანი ელემენტები მთავარი დიაგონალის ზემოთ. ამისთვის პირველ მწკრივს გამოაკელით 7-ზე გამრავლებული მესამე, ხოლო მეორეს დაამატეთ 5-ზე გამრავლებული მესამე.
7. საბოლოო გაფართოებული მატრიცა ასე გამოიყურება:
8. იგი შეესაბამება განტოლებათა სისტემას:
პასუხი: root SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.