მატრიცული რანგი: განმარტება, პოვნის მეთოდები

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ მატრიცის რანგის განმარტებას, ასევე მეთოდებს, რომლითაც შეიძლება მისი პოვნა. ჩვენ ასევე გავაანალიზებთ მაგალითებს თეორიის პრაქტიკაში გამოყენების საჩვენებლად.

მატრიცის რანგის განსაზღვრა

მატრიცის რანგი არის მისი რიგების ან სვეტების სისტემის რანგი. ნებისმიერ მატრიცას აქვს თავისი რიგები და სვეტები, რომლებიც ერთმანეთის ტოლია.

მწკრივის სისტემის რანგი არის წრფივად დამოუკიდებელი მწკრივების მაქსიმალური რაოდენობა. სვეტის სისტემის წოდება განისაზღვრება ანალოგიურად.

შენიშვნები:

• ნულოვანი მატრიცის რანგი (აღნიშნავს სიმბოლოს "θ”) ნებისმიერი ზომის არის ნული.
• ნებისმიერი არანულოვანი მწკრივის ვექტორის ან სვეტის ვექტორის წოდება ერთის ტოლია.
• თუ ნებისმიერი ზომის მატრიცა შეიცავს მინიმუმ ერთ ელემენტს, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, მაშინ მისი რანგი არ არის ერთზე ნაკლები.
• მატრიცის წოდება არ აღემატება მის მინიმალურ განზომილებას.
• მატრიცაზე შესრულებული ელემენტარული გარდაქმნები არ ცვლის მის წოდებას.

მატრიცის რანგის პოვნა

Fringing Minor მეთოდი

მატრიცის რანგი უდრის არანულის მაქსიმალურ წესრიგს.

ალგორითმი ასეთია: იპოვნეთ არასრულწლოვნები ყველაზე დაბალი ბრძანებებიდან უმაღლესამდე. თუ არასრულწლოვანი nრიგი არ არის ნულის ტოლი და ყველა შემდგომი (n+1) უდრის 0-ს, ამიტომ მატრიცის რანგი არის n.

მაგალითი

უფრო გასაგებად ავიღოთ პრაქტიკული მაგალითი და ვიპოვოთ მატრიცის რანგი A ქვემოთ, არასრულწლოვანთა მოსაზღვრე მეთოდის გამოყენებით.

Solution

საქმე გვაქვს 4 × 4 მატრიცასთან, შესაბამისად, მისი რეიტინგი არ შეიძლება იყოს 4-ზე მაღალი. ასევე, მატრიცაში არის არანულოვანი ელემენტები, რაც ნიშნავს, რომ მისი რანგი არ არის ერთზე ნაკლები. ასე რომ, დავიწყოთ:

1. დაიწყეთ შემოწმება მეორე რიგის არასრულწლოვნები. დასაწყისისთვის, ჩვენ ვიღებთ პირველი და მეორე სვეტების ორ რიგს.

მინორი უდრის ნულს.

ამიტომ, გადავდივართ შემდეგ მინორზე (რჩება პირველი სვეტი და მეორის ნაცვლად ვიღებთ მესამეს).

მინორი არის 54≠0, ამიტომ მატრიცის რანგი მინიმუმ ორია.

შენიშვნა: თუ ეს მინორი ტოლი იქნება ნულის ტოლი, ჩვენ შემდგომ შევამოწმებთ შემდეგ კომბინაციებს:

საჭიროების შემთხვევაში, ჩამოთვლა შეიძლება გაგრძელდეს იმავე გზით სტრიქონებით:

• 1 და 3;
• 1 და 4;
• 2 და 3;
• 2 და 4;
• 3 და 4.

თუ ყველა მეორე რიგის მინორი ტოლი იქნება ნულის ტოლი, მაშინ მატრიცის რანგი იქნება ერთის ტოლი.

2. ჩვენ თითქმის მაშინვე მოვახერხეთ ჩვენთვის შესაფერისი არასრულწლოვნის პოვნა. ასე რომ, მოდით გადავიდეთ მესამე რიგის არასრულწლოვნები.

მეორე რიგის აღმოჩენილ მინორს, რომელმაც არანულო შედეგი გამოიღო, ვამატებთ ერთ მწკრივს და მწვანედ გამოკვეთილ ერთ სვეტს (ვიწყებთ მეორედან).

არასრულწლოვანი აღმოჩნდა ნული.

ამიტომ, ჩვენ ვცვლით მეორე სვეტს მეოთხეზე. ხოლო მეორე მცდელობისას ვახერხებთ ვიპოვოთ მინორი, რომელიც არ არის ნულის ტოლი, რაც ნიშნავს, რომ მატრიცის რანგი არ შეიძლება იყოს 3-ზე ნაკლები.

შენიშვნა: თუ შედეგი ისევ ნული აღმოჩნდებოდა, მეორე რიგის ნაცვლად მეოთხეს უფრო შორს წავიღებდით და „კარგი“ არასრულწლოვნის ძებნას გავაგრძელებდით.

3. ახლა რჩება განსაზღვრა მეოთხე რიგის არასრულწლოვნები ადრე ნაპოვნის საფუძველზე. ამ შემთხვევაში, ის ემთხვევა მატრიცის განმსაზღვრელს.

მინორი უდრის 144≠0. ეს ნიშნავს, რომ მატრიცის წოდება A უდრის 4 -ს.

მატრიცის შემცირება საფეხურზე

საფეხურის მატრიცის წოდება უდრის მისი არანულოვანი რიგების რაოდენობას. ანუ, ყველაფერი რაც ჩვენ უნდა გავაკეთოთ არის მატრიცას შესაბამის ფორმაზე მიყვანა, მაგალითად, გამოყენებით, რომელიც, როგორც ზემოთ აღვნიშნეთ, არ ცვლის მის წოდებას.

მაგალითი

იპოვეთ მატრიცის რანგი B ქვევით. ჩვენ არ ვიღებთ ზედმეტად რთულ მაგალითს, რადგან ჩვენი მთავარი მიზანია უბრალოდ ვაჩვენოთ მეთოდის გამოყენება პრაქტიკაში.

Solution

1. ჯერ მეორე სტრიქონს გამოაკელით გაორმაგებული პირველი.

2. ახლა გამოვაკლოთ პირველი რიგი მესამე მწკრივს, გამრავლებული ოთხზე.

ამრიგად, მივიღეთ საფეხურების მატრიცა, რომელშიც არანულოვანი მწკრივების რაოდენობა უდრის ორს, შესაბამისად მისი რანგიც უდრის 2-ს.