რთული რიცხვის ფესვის ამოღება

ამ პუბლიკაციაში ჩვენ განვიხილავთ, თუ როგორ შეგიძლიათ აიღოთ რთული რიცხვის ფესვი და ასევე, როგორ შეიძლება ეს დაგეხმაროთ კვადრატული განტოლებების ამოხსნაში, რომელთა დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია.

რთული რიცხვის ფესვის ამოღება

Კვადრატული ფესვი

როგორც ვიცით, უარყოფითი რეალური რიცხვის ფესვის აღება შეუძლებელია. მაგრამ როდესაც საქმე ეხება კომპლექსურ რიცხვებს, ეს მოქმედება შეიძლება შესრულდეს. მოდი გავარკვიოთ.

ვთქვათ, გვაქვს ნომერი z = -9. იყიდება √-9 არსებობს ორი ფესვი:

z₁ =-9 = -3i

z₁ =-9 = 3i

მიღებული შედეგები გადავამოწმოთ განტოლების ამოხსნით z² =-9, არ დაგავიწყდეს ეს i² =-1:

(-3i)² = (3)² ⋅ ი² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ი² = 9 ⋅ (-1) = -9

ამრიგად, ჩვენ ეს დავამტკიცეთ -3ი и 3i ფესვებია √-9.

უარყოფითი რიცხვის ფესვი ჩვეულებრივ ასე იწერება:

√-1 = ± i

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i ა.შ.

ფესვი n-ის ძალამდე

დავუშვათ, რომ მოცემულია ფორმის განტოლებები z = ⁿ√w… Მას აქვს n ფესვები (z₀, რა₁, რა₂,…, ზ_n-1), რომელიც შეიძლება გამოითვალოს ქვემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით:

|ვ| არის რთული რიცხვის მოდული w;

φ - მისი არგუმენტი

k არის პარამეტრი, რომელიც იღებს მნიშვნელობებს: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

კვადრატული განტოლებები რთული ფესვებით

უარყოფითი რიცხვის ფესვის ამოღება ცვლის UXNUMXbuXNUMXb-ის ჩვეულ იდეას. თუ დისკრიმინანტი (D) არის ნულზე ნაკლები, მაშინ არ შეიძლება იყოს ნამდვილი ფესვები, მაგრამ ისინი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს რთული რიცხვების სახით.

მაგალითი

მოდი ამოვხსნათ განტოლება x² - 8x + 20 = 0.

Solution

a = 1, b = -8, c = 20

D = b² - 4ac = 64 – 80 = -16

D <0, მაგრამ ჩვენ მაინც შეგვიძლია ავიღოთ უარყოფითი დისკრიმინანტის საფუძველი:

√D =-16 = ±4i

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვთვალოთ ფესვები:

x_1,2 = (-b ± √D)/2ა = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

მაშასადამე, განტოლება x² - 8x + 20 = 0 აქვს ორი რთული კონიუგირებული ფესვი:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i