რთული რიცხვის აყვანა ბუნებრივ ხარისხზე

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ, თუ როგორ შეიძლება კომპლექსური რიცხვის ამაღლება სიმძლავრემდე (დე მოივრის ფორმულის გამოყენებით). თეორიულ მასალას ახლავს მაგალითები უკეთ გასაგებად.

კომპლექსური რიცხვის ხარისხზე აყვანა

პირველი, გახსოვდეთ, რომ კომპლექსურ რიცხვს აქვს ზოგადი ფორმა: z = a + bi (ალგებრული ფორმა).

ახლა ჩვენ შეგვიძლია პირდაპირ გადავიდეთ პრობლემის გადაჭრაზე.

კვადრატული ნომერი

ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ ხარისხი, როგორც ერთი და იგივე ფაქტორების პროდუქტი, შემდეგ კი ვიპოვოთ მათი პროდუქტი (ამას გავიხსენოთ i² =-1).

z² = (a + bi)² = (a + bi) (a + bi)

მაგალითად 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30ი

თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ, კერძოდ, ჯამის კვადრატი:

z² = (a + bi)² = a² + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – ბ²

შენიშვნა: ანალოგიურად, საჭიროების შემთხვევაში, შეიძლება მიიღოთ სხვაობის კვადრატის ფორმულები, ჯამის / სხვაობის კუბი და ა.შ.

N-ე ხარისხი

აწიეთ რთული რიცხვი z სახის n ბევრად უფრო ადვილია, თუ იგი წარმოდგენილია ტრიგონომეტრიული ფორმით.

შეგახსენებთ, რომ ზოგადად, რიცხვის აღნიშვნა ასე გამოიყურება: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

ექსპონენტაციისთვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ დე მოივრის ფორმულა (ასე ეწოდა ინგლისელი მათემატიკოსის აბრაამ დე მოივრეს):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + i ⋅ sin(nφ))

ფორმულა მიიღება ტრიგონომეტრიული ფორმით ჩაწერით (მოდულები მრავლდება და არგუმენტები ემატება).

მაგალითი 2

აწიეთ რთული რიცხვი z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) მერვე ხარისხამდე.

Solution

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).