ინვერსიული მატრიცის პოვნა

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ რა არის ინვერსიული მატრიცა და ასევე, პრაქტიკული მაგალითის გამოყენებით, გავაანალიზებთ, თუ როგორ შეიძლება მისი პოვნა სპეციალური ფორმულისა და თანმიმდევრული მოქმედებების ალგორითმის გამოყენებით.

ინვერსიული მატრიცის განმარტება

პირველ რიგში, გავიხსენოთ რა არის მათემატიკაში რეციპროკალები. ვთქვათ გვაქვს რიცხვი 7. მაშინ მისი შებრუნებული იქნება 7^-1 or ¹/₇. თუ ამ რიცხვებს გაამრავლებთ, შედეგი იქნება ერთი, ანუ 7 7^-1 = 1.

თითქმის იგივე მატრიცებით. გადახედოს ასეთი მატრიცა ჰქვია, რომლის გამრავლებით თავდაპირველზე ვიღებთ იდენტურობას. მას ასახელებენ როგორც A^-1.

ᲐᲐ^-1 =E

ინვერსიული მატრიცის პოვნის ალგორითმი

ინვერსიული მატრიცის საპოვნელად, თქვენ უნდა გქონდეთ მატრიცების გამოთვლა, ასევე გქონდეთ მათთან გარკვეული მოქმედებების შესრულების უნარები.

დაუყოვნებლივ უნდა აღინიშნოს, რომ ინვერსიის პოვნა შესაძლებელია მხოლოდ კვადრატული მატრიცისთვის და ეს კეთდება ქვემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენებით:

|A| – მატრიცის განმსაზღვრელი;

A^T_M არის ალგებრული დამატებების ტრანსპონირებული მატრიცა.

შენიშვნა: თუ განმსაზღვრელი არის ნული, მაშინ შებრუნებული მატრიცა არ არსებობს.

მაგალითი

მოდი ვიპოვოთ მატრიცისთვის A ქვემოთ არის მისი საპირისპირო.

Solution

1. ჯერ ვიპოვოთ მოცემული მატრიცის განმსაზღვრელი.

2. ახლა მოდით გავაკეთოთ მატრიცა, რომელსაც აქვს იგივე ზომები, როგორც ორიგინალი:

ჩვენ უნდა გავარკვიოთ, რომელი რიცხვები უნდა შეცვალონ ვარსკვლავები. დავიწყოთ მატრიცის ზედა მარცხენა ელემენტით. მცირე მასში აღმოჩენილია მწკრივისა და სვეტის გადაკვეთით, რომელშიც ის მდებარეობს, ანუ ორივე შემთხვევაში ნომერ პირველზე.

რიცხვი, რომელიც რჩება გადაკვეთის შემდეგ, არის საჭირო მინორი, ე.ი M₁₁ = 8.

ანალოგიურად, ჩვენ ვპოულობთ მინორებს მატრიცის დარჩენილი ელემენტებისთვის და ვიღებთ შემდეგ შედეგს.

3. განვსაზღვრავთ ალგებრული დამატებების მატრიცას. როგორ გამოვთვალოთ ისინი თითოეული ელემენტისთვის, განვიხილეთ ცალკე.

მაგალითად, ელემენტისთვის a₁₁ ალგებრული დამატება განიხილება შემდეგნაირად:

A₁₁ = (-1)^{1 + 1} M₁₁ = 1 · 8 = 8

4. შეასრულეთ ალგებრული მიმატებების შედეგად მიღებული მატრიცის ტრანსპოზიცია (ანუ შეცვალეთ სვეტები და რიგები).

5. შებრუნებული მატრიცის საპოვნელად რჩება მხოლოდ ზემოთ მოცემული ფორმულის გამოყენება.

ჩვენ შეგვიძლია დავტოვოთ პასუხი ამ ფორმით, მატრიცის ელემენტების 11 რიცხვზე გაყოფის გარეშე, რადგან ამ შემთხვევაში ვიღებთ მახინჯ წილად რიცხვებს.

შედეგის შემოწმება

იმისათვის, რომ დავრწმუნდეთ, რომ მივიღეთ თავდაპირველი მატრიცის ინვერსია, შეგვიძლია ვიპოვოთ მათი ნამრავლი, რომელიც ტოლი უნდა იყოს იდენტურობის მატრიცას.

შედეგად, ჩვენ მივიღეთ პირადობის მატრიცა, რაც ნიშნავს, რომ ყველაფერი სწორად გავაკეთეთ.