მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თვისებები

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ სიმაღლის ძირითად თვისებებს მართკუთხა სამკუთხედში და ასევე გავაანალიზებთ ამ თემაზე ამოცანების გადაჭრის მაგალითებს.

შენიშვნა: სამკუთხედი ეწოდება მართკუთხა, თუ მისი ერთ-ერთი კუთხე მართია (90°-ის ტოლია), ხოლო დანარჩენი ორი მკვეთრია (<90°).

სიმაღლის თვისებები მართკუთხა სამკუთხედში

საკუთრება 1

მართკუთხა სამკუთხედს აქვს ორი სიმაღლე (h₁ и h₂) ემთხვევა მის ფეხებს.

მესამე სიმაღლე (h₃) მართი კუთხიდან ჩამოდის ჰიპოტენუზაში.

საკუთრება 2

მართკუთხა სამკუთხედის ორთოცენტრი (სიმაღლეების გადაკვეთის წერტილი) მართი კუთხის წვეროზეა.

საკუთრება 3

ჰიპოტენუზასთან დახატული მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლე ყოფს მას ორ მსგავს მართკუთხა სამკუთხედად, რომლებიც ასევე ორიგინალის მსგავსია.

1. △ABD ~ △ABC ორი თანაბარი კუთხით: ∠ADB = ∠LAC (სწორი ხაზები), ∠ABD = ∠ABC

2. △ADC ~ △ABC ორი თანაბარი კუთხით: ∠ADC = ∠LAC (სწორი ხაზები), ∠CDA = ∠ACB.

3. △ABD ~ △ADC ორი თანაბარი კუთხით: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠CDA.

მტკიცებულება: ∠BAD = 90° – ∠ABD (ABC). ამავე დროს ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC.

ამიტომ, ∠BAD = ∠CDA.

ანალოგიურად შეიძლება დადასტურდეს, რომ ∠ABD = ∠DAC.

საკუთრება 4

მართკუთხა სამკუთხედში, ჰიპოტენუზამდე მიყვანილი სიმაღლე გამოითვლება შემდეგნაირად:

1. ჰიპოტენუზაზე სეგმენტების გავლითსიმაღლის ფუძით მისი დაყოფის შედეგად წარმოქმნილი:

2. სამკუთხედის გვერდების სიგრძეებით:

ეს ფორმულა გამომდინარეობს მახვილი კუთხის სინუსის თვისებები მართკუთხა სამკუთხედში (კუთხის სინუსი უდრის მოპირდაპირე ფეხის თანაფარდობას ჰიპოტენუზასთან):

შენიშვნა: მართკუთხა სამკუთხედზე, ჩვენს პუბლიკაციაში წარმოდგენილი ზოგადი სიმაღლის თვისებები - ასევე ვრცელდება.

პრობლემის მაგალითი

დავალება 1

მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზა იყოფა მისკენ მიზიდულ სიმაღლეზე 5 და 13 სმ სეგმენტებად. იპოვეთ ამ სიმაღლის სიგრძე.

Solution

მოდით გამოვიყენოთ პირველი ფორმულა წარმოდგენილი საკუთრება 4:

დავალება 2

მართკუთხა სამკუთხედის ფეხები არის 9 და 12 სმ. იპოვეთ ჰიპოტენუზამდე მიყვანილი სიმაღლის სიგრძე.

Solution

პირველ რიგში, ვიპოვოთ ჰიპოტენუზის სიგრძე გასწვრივ (მოდით, სამკუთხედის ფეხები იყოს "დან" и "B"და ჰიპოტენუზა არის "წინააღმდეგ"):

c² = ა² + ბ² = 9² 12 +² = 225.

შესაბამისად, с = 15 სმ.

ახლა ჩვენ შეგვიძლია გამოვიყენოთ მეორე ფორმულა საიდან თვისებები 4ზემოთ განხილული: