ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ ევკლიდეს გეომეტრიის ერთ-ერთ მთავარ თეორემას – სტიუარტის თეორემას, რომელმაც ასეთი სახელი მიიღო ინგლისელი მათემატიკოსის მ.სტიუარტის პატივსაცემად, რომელმაც ეს დაადასტურა. ასევე დეტალურად გავაანალიზებთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითს წარმოდგენილი მასალის კონსოლიდაციის მიზნით.
თეორემის განცხადება
დანის სამკუთხედი ABC. მის გვერდით AC აღებულია წერტილი D, რომელიც უკავშირდება ზედა B. ჩვენ ვიღებთ შემდეგ აღნიშვნას:
- AB = ა
- BC = ბ
- BD = გვ
- AD = x
- DC = და
ამ სამკუთხედისთვის ტოლობა მართალია:
თეორემის გამოყენება
სტიუარტის თეორემიდან შეიძლება გამოვიდეს ფორმულები სამკუთხედის შუალედებისა და ბისექტორების მოსაძებნად:
1. ბისექტრის სიგრძე
მიადევნე lc არის ბისექტრი, რომელიც გვერდით არის გამოყვანილი c, რომელიც დაყოფილია სეგმენტებად x и y. ავიღოთ სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდი, როგორც a и b… Ამ შემთხვევაში:
2. საშუალო სიგრძე
მიადევნე mc არის მედიანა გვერდით ქვემოთ გადაბრუნებული c. სამკუთხედის დანარჩენი ორი გვერდი ავღნიშნოთ როგორც a и b… შემდეგ:
პრობლემის მაგალითი
მოცემული სამკუთხედი ABC გვერდზე AC უდრის 9 სმ, აღებულია წერტილი D, რომელიც ყოფს მხარეს ისე, რომ AD ორჯერ უფრო გრძელი DC. წვეროს დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე B და წერტილი D, არის 5 სმ. ამ შემთხვევაში, ჩამოყალიბებული სამკუთხედი ABD არის ტოლფერდა. იპოვეთ სამკუთხედის დარჩენილი გვერდები ABC.
Solution
ნახატის სახით გამოვსახოთ პრობლემის პირობები.
AC = AD + DC = 9 სმ. AD აღარ DC ორჯერ, ე.ი AD = 2DC.
შესაბამისად, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX სმ. Ისე, DC = 3 სმ, AD = 6 სმ.
რადგან სამკუთხედი ABD - ტოლფერდა და გვერდითი AD არის 6 სმ, ამიტომ ისინი ტოლია AB и BDIe AB = 5 სმ.
რჩება მხოლოდ პოვნა BCსტიუარტის თეორემიდან გამომდინარე ფორმულა:
ჩვენ ვცვლით ცნობილ მნიშვნელობებს ამ გამონათქვამში:
ამ გზით, BC = √52 ≈ 7,21 სმ.