წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ წრფივი ალგებრული განტოლებების სისტემის განმარტებას (SLAE), როგორ გამოიყურება, რა ტიპები არსებობს და ასევე როგორ წარმოვადგინოთ იგი მატრიცის სახით, მათ შორის გაფართოებული.

წრფივი განტოლებათა სისტემის განმარტება

წრფივი ალგებრული განტოლებათა სისტემა (ან მოკლედ "SLAU") არის სისტემა, რომელიც ზოგადად ასე გამოიყურება:

• m არის განტოლებების რაოდენობა;
• n არის ცვლადების რაოდენობა.
• x₁, X₂,…, x_n - უცნობი;
• a₁₁,₁₂…, ა_mn – კოეფიციენტები უცნობისთვის;
• b₁, ბ₂,…, ბ_m - უფასო წევრები.

კოეფიციენტების ინდექსები (a_ij) იქმნება შემდეგნაირად:

• i არის წრფივი განტოლების რიცხვი;
• j არის ცვლადის რაოდენობა, რომელსაც ეხება კოეფიციენტი.

SLAU ხსნარი - ასეთი რიცხვები c₁, გ₂,…, გ_n , რომლის პარამეტრებშიც ნაცვლად x₁, X₂,…, x_n, სისტემის ყველა განტოლება გადაიქცევა იდენტებად.

SLAU-ს სახეები

1. ერთგვაროვანი - სისტემის ყველა თავისუფალი წევრი ნულის ტოლია (b₁ = ბ₂ = … = ბ_m = 0).

   

2. ჰეტეროგენული - თუ ზემოთ ჩამოთვლილი პირობა არ არის დაკმაყოფილებული.
3. Square – განტოლებათა რაოდენობა უდრის უცნობთა რაოდენობას, ე.ი m = n.

   

4. განუსაზღვრელი – უცნობთა რიცხვი მეტია განტოლებათა რაოდენობაზე.

   

5. გადალახული უფრო მეტი განტოლებაა, ვიდრე ცვლადი.

   

გადაწყვეტილებების რაოდენობის მიხედვით, SLAE შეიძლება იყოს:

1. ერთობლივი აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი. უფრო მეტიც, თუ ის უნიკალურია, სისტემას უწოდებენ განსაზღვრულს, თუ არსებობს რამდენიმე ამონახსნი, მას ეწოდება განუსაზღვრელი.

   

   SLAE ზემოთ არის ერთობლივი, რადგან არსებობს მინიმუმ ერთი გამოსავალი: x = 2, y = 3.

2. შეუთავსებელია სისტემას არ აქვს გადაწყვეტილებები.

   

   განტოლებების მარჯვენა მხარეები იგივეა, მაგრამ მარცხენა არ არის. ამრიგად, გადაწყვეტილებები არ არსებობს.

სისტემის მატრიცული აღნიშვნა

SLAE შეიძლება წარმოდგენილი იყოს მატრიცის სახით:

AX = B

• A არის მატრიცა, რომელიც წარმოიქმნება უცნობის კოეფიციენტებით:

  

• X - ცვლადების სვეტი:

  

• B - უფასო წევრების სვეტი:

  

მაგალითი

ჩვენ წარმოვადგენთ განტოლებათა სისტემას ქვემოთ მატრიცის სახით:

ზემოთ მოყვანილი ფორმების გამოყენებით, ჩვენ ვადგენთ მთავარ მატრიცას კოეფიციენტებით, სვეტებით უცნობი და თავისუფალი წევრებით.

განტოლებათა მოცემული სისტემის სრული ჩანაწერი მატრიცის სახით:

გაფართოებული SLAE მატრიცა

თუ სისტემის მატრიცას A დაამატეთ უფასო წევრების სვეტი მარჯვნივ Bმონაცემების ვერტიკალური ზოლით გამოყოფით, თქვენ მიიღებთ SLAE-ის გაფართოებულ მატრიცას.

ზემოთ მოყვანილი მაგალითისთვის ასე გამოიყურება:

- გაფართოებული მატრიცის აღნიშვნა.