რა არის ფუნქციის ზღვარი

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთ მთავარ კონცეფციას - ფუნქციის ზღვარს: მის განმარტებას, ასევე სხვადასხვა ამონახსნებს პრაქტიკული მაგალითებით.

ფუნქციის ლიმიტის განსაზღვრა

ფუნქციის ლიმიტი – მნიშვნელობა, რომლისკენაც მიდის ამ ფუნქციის მნიშვნელობა, როდესაც მისი არგუმენტი მიისწრაფვის შემზღუდველ წერტილამდე.

ლიმიტის ჩანაწერი:

• ლიმიტი მითითებულია ხატით ლიმ;
• ქვემოთ ემატება რა მნიშვნელობა აქვს ფუნქციის არგუმენტს (ცვლადი). ჩვეულებრივ ეს x, მაგრამ არა აუცილებლად, მაგალითად:x→1″;
• შემდეგ თავად ფუნქცია ემატება მარჯვნივ, მაგალითად:

  

ამრიგად, ლიმიტის საბოლოო ჩანაწერი ასე გამოიყურება (ჩვენს შემთხვევაში):

კითხულობს მოსწონს "ფუნქციის ზღვარი, რადგან x მიდრეკილია ერთიანობისკენ".

x→ 1 - ეს ნიშნავს, რომ "x" თანმიმდევრულად იღებს მნიშვნელობებს, რომლებიც უსასრულოდ უახლოვდება ერთიანობას, მაგრამ არასოდეს დაემთხვევა მას (მას არ მიაღწევს).

გადაწყვეტილების ლიმიტები

მოცემული ნომრით

მოდით გადავჭრათ ზემოაღნიშნული ლიმიტი. ამისათვის უბრალოდ შეცვალეთ ერთეული ფუნქციაში (რადგან x→1):

ამრიგად, ლიმიტის ამოსახსნელად, ჩვენ ჯერ ვცდილობთ უბრალოდ ჩავანაცვლოთ მოცემული რიცხვი მის ქვემოთ მოცემულ ფუნქციაში (თუ x მიდრეკილია კონკრეტული რიცხვისკენ).

უსასრულობით

ამ შემთხვევაში, ფუნქციის არგუმენტი იზრდება უსასრულოდ, ანუ "X" მიდრეკილია უსასრულობისკენ (∞). Მაგალითად:

If x→∞, მაშინ მოცემული ფუნქცია მიდრეკილია მინუს უსასრულობამდე (-∞), რადგან:

• 3 - 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 და ა.შ.

კიდევ ერთი უფრო რთული მაგალითი

ამ ლიმიტის გადასაჭრელად, ასევე, უბრალოდ გაზარდეთ მნიშვნელობები x და გადახედეთ ფუნქციის „ქცევას“ ამ შემთხვევაში.

• RџSЂRё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџSЂRё x = 10, y = 10² + 3 · 10 - 6 = 124
• RџSЂRё x = 100, y = 100² + 3 · 100 - 6 = 10294

ამრიგად, იმისთვის "X"უსასრულობისკენ მიდრეკილება, ფუნქცია x² + 3x - 6 იზრდება განუსაზღვრელი ვადით.

გაურკვევლობით (x მიდრეკილია უსასრულობისკენ)

ამ შემთხვევაში საუბარია ზღვრებზე, როცა ფუნქცია არის წილადი, რომლის მრიცხველი და მნიშვნელი მრავალწევრია. სადაც "X" მიდრეკილია უსასრულობისკენ.

მაგალითი: მოდით გამოვთვალოთ ლიმიტი ქვემოთ.

Solution

გამონათქვამები როგორც მრიცხველში, ასევე მნიშვნელში მიდრეკილია უსასრულობისკენ. შეიძლება ვივარაუდოთ, რომ ამ შემთხვევაში გამოსავალი იქნება შემდეგი:

თუმცა, ყველაფერი ასე მარტივი არ არის. ლიმიტის გადასაჭრელად უნდა გავაკეთოთ შემდეგი:

1. იპოვნე x მრიცხველის უმაღლეს სიმძლავრემდე (ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ორი).

2. ანალოგიურად, ჩვენ განვსაზღვრავთ x უმაღლეს ხარისხამდე მნიშვნელისთვის (ასევე უდრის ორს).

3. ახლა ჩვენ ვყოფთ მრიცხველსაც და მნიშვნელსაც x უფროს ხარისხში. ჩვენ შემთხვევაში, ორივე შემთხვევაში – მეორეში, მაგრამ თუ ისინი განსხვავებულები იყვნენ, უმაღლესი ხარისხი უნდა ავიღოთ.

4. მიღებულ შედეგში ყველა წილადი მიდრეკილია ნულისკენ, შესაბამისად პასუხი არის 1/2.

გაურკვევლობით (x მიდრეკილია კონკრეტულ რიცხვზე)

მრიცხველიც და მნიშვნელიც პოლინომებია, თუმცა, "X" მიდრეკილია კონკრეტული რიცხვისკენ და არა უსასრულობისკენ.

ამ შემთხვევაში ჩვენ პირობითად დავხუჭავთ თვალს იმაზე, რომ მნიშვნელი არის ნული.

მაგალითი: მოდით ვიპოვოთ ქვემოთ მოცემული ფუნქციის ლიმიტი.

Solution

1. ჯერ შევცვალოთ რიცხვი 1 ფუნქციაში, რომელსაც "X". ჩვენ ვიღებთ გაურკვევლობას იმ ფორმის შესახებ, რომელსაც განვიხილავთ.

2. შემდეგ მრიცხველს და მნიშვნელს ვანაწილებთ ფაქტორებად. ამისათვის შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემოკლებული გამრავლების ფორმულები, თუ ისინი შესაფერისია, ან.

ჩვენს შემთხვევაში, გამოხატვის ფესვები მრიცხველში (2x² - 5x + 3 = 0) არის რიცხვები 1 და 1,5. აქედან გამომდინარე, ის შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც: 2(x-1)(x-1,5).

მნიშვნელი (x–1) თავდაპირველად მარტივია.

3. ჩვენ ვიღებთ ასეთ შეცვლილ ლიმიტს:

4. წილადი შეიძლება შემცირდეს (x–1):

5. რჩება მხოლოდ 1 რიცხვის ჩანაცვლება ლიმიტის ქვეშ მიღებულ გამონათქვამში: