ფერმას პატარა თეორემა

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ მთელი რიცხვების თეორიის ერთ-ერთ მთავარ თეორემას -  ფერმას პატარა თეორემაფრანგი მათემატიკოსის პიერ დე ფერმას სახელს ატარებს. ასევე გავაანალიზებთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითს წარმოდგენილი მასალის კონსოლიდაციისთვის.

თეორემის განცხადება

1. საწყისი

If p არის პირველი რიცხვი a არის მთელი რიცხვი, რომელიც არ იყოფა pმაშინ a^p-1 - 1 იყოფა p.

ოფიციალურად ასე წერია: a^p-1 ≡ 1 (წინააღმდეგ p).

შენიშვნა: მარტივი რიცხვი არის ბუნებრივი რიცხვი, რომელიც იყოფა მხოლოდ XNUMX-ზე და თავის თავზე ნაშთის გარეშე.

მაგალითად:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ - 1 = 16 - 1 = 15
• რაოდენობა 15 იყოფა 5 ნარჩენების გარეშე.

2. ალტერნატივა

If p არის მარტივი რიცხვი, a ნებისმიერი მთელი რიცხვი, მაშინ a^p შესადარებელი a Modulo p.

a^p ≡ ა (წინააღმდეგ p)

მტკიცებულებების პოვნის ისტორია

პიერ დე ფერმამ ჩამოაყალიბა თეორემა 1640 წელს, მაგრამ თავად არ დაამტკიცა. მოგვიანებით ეს გააკეთა გოტფრიდ ვილჰელმ ლაიბნიცმა, გერმანელმა ფილოსოფოსმა, ლოგიკოსმა, მათემატიკოსმა და ა.შ. ითვლება, რომ მტკიცებულება მას უკვე ჰქონდა 1683 წლისთვის, თუმცა ის არასოდეს გამოქვეყნებულა. აღსანიშნავია, რომ ლაიბნიცმა თავად აღმოაჩინა თეორემა, არ იცოდა, რომ ის უკვე ადრე იყო ჩამოყალიბებული.

თეორემის პირველი დადასტურება გამოქვეყნდა 1736 წელს და ის ეკუთვნის შვეიცარიელ, გერმანელ და მათემატიკოსს და მექანიკოსს, ლეონჰარდ ეილერს. ფერმას პატარა თეორემა არის ეილერის თეორემის განსაკუთრებული შემთხვევა.

პრობლემის მაგალითი

იპოვეთ რიცხვის დარჩენილი ნაწილი 2¹² on 12.

Solution

წარმოვიდგინოთ რიცხვი 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 არის მარტივი რიცხვი, მაშასადამე, ფერმას პატარა თეორემით ვიღებთ:

2¹¹ ≡ 2 (წინააღმდეგ 11).

აქედან გამომდინარე, 2⋅2¹¹ ≡ 4 (წინააღმდეგ 11).

ასე რომ, ნომერი 2¹² იყოფა 12 ნაშთით ტოლი 4.