ვექტორების ჯვარედინი ნამრავლი

ამ პუბლიკაციაში განვიხილავთ, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ ორი ვექტორის ჯვარედინი პროდუქტი, მივცეთ გეომეტრიული ინტერპრეტაცია, ამ მოქმედების ალგებრული ფორმულა და თვისებები და ასევე გავაანალიზოთ პრობლემის გადაჭრის მაგალითი.

გეომეტრიული ინტერპრეტაცია

ორი არანულოვანი ვექტორის ვექტორული ნამრავლი a и b არის ვექტორი c, რომელიც აღინიშნება როგორც [a, b] or a x b.

ვექტორის სიგრძე c უდრის ვექტორების გამოყენებით აგებული პარალელოგრამის ფართობს a и b.

ამ შემთხვევაში, c პერპენდიკულარული სიბრტყის, რომელშიც ისინი არიან a и b, და მდებარეობს ისე, რომ ყველაზე ნაკლები ბრუნვა იყოს a к b შესრულდა საათის ისრის საწინააღმდეგოდ (ვექტორის ბოლოს თვალსაზრისით).

ჯვარედინი პროდუქტის ფორმულა

ვექტორების პროდუქტი a = {ა_x; რომ_y,_z} მე b = {ბ_x; ბ_y, ბ_z} გამოითვლება ქვემოთ მოცემული ერთ-ერთი ფორმულის გამოყენებით:

ჯვარედინი პროდუქტის თვისებები

1. ორი არანულოვანი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი ნულის ტოლია, თუ და მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ეს ვექტორები წრფივია.

[a, b] = 0იმ შემთხვევაში, თუ a || b.

2. ორი ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლის მოდული ტოლია ამ ვექტორების მიერ წარმოქმნილი პარალელოგრამის ფართობის.

S_{პარალელურად} = |a x b|

3. ორი ვექტორის მიერ წარმოქმნილი სამკუთხედის ფართობი უდრის მათი ვექტორული ნამრავლის ნახევარს.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. ვექტორი, რომელიც არის ორი სხვა ვექტორის ჯვარედინი ნამრავლი, მათზე პერპენდიკულარულია.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = -b x a

6. (მ a) x a = a x (მ b) = მ (a x b)

ერთი. (a + b) x c = a x c + b x c

პრობლემის მაგალითი

გამოთვალეთ ჯვარედინი პროდუქტი a = {2; 4; 5} и b = {9; - ორი; 3}.

გადაწყვეტილება:

პასუხი: a x b = {19; 43; -42}.